Alternative Mathematics Labo

Alternative Mathematics Labo 談話会記録

2009年7月29日（水）15:30-17:30
場所：大阪大学理学部Ｂ３４６大セミナー室（Ｂ棟３階）
微積分再構成セミナー（代表者山崎洋平氏）共催
- 山崎　洋平氏（大阪大学）
  「実数の全体は文言どおりアルキメデス全順序体をなすのか？」
  
  微積分を通観すればその場しのぎの積み重ねであることに気づく。それは「背に腹は替えられない」事情によるものではあったのだが、一貫性のない発展過程ゆえに十分な結論は得られていない。たとえば「長さをもつ」曲線という概念が出てきたのに「広さをもつ」曲面という概念は姿を見せない。非負値連続関数列の極限と広義積分の交換は不自由だがルベーグ積分であればうまくいくという説明がある。実際には「積分可能な優関数をもつ」という唐突な条件下でしかそれは保証されない。100年来改良されていないこの条件こそルベーグ積分の限界を示すものといわざるを得ない。
  
  ルベーグ積分の目玉として挙げられているものに可算加法があるが、それはまた「直積の広さ＝広さの積」を埋め込む空間よりも低次元の広さに適用するには妨げとなっている。こういった問題点の克服について詳しくは別の機会に述べることにするが、小手先でできるような改善策は出尽くしたと言っても過言ではあるまい。あとは基本概念自体を洗い直してみるしかない。基本概念は我々の生活感覚を反映したものでなければならないが、それと同時に生活感覚を標榜する抽象概念の操作は文言どおりに裏付けられるものであって欲しい。
  
  このことを「実数」に当てはめてみよう。実数には本当に「全順序」がつくのか？我々が正当化する対象の中に閉区間上の連続関数の定積分値が含まれている以上、２つの積分値を比較する必要が生じる。両値の関係は本当に等・大・小のいずれかに判別がつくのだろうか？「等しくないものを精密に比較していくといつかは大小がつく」という陳述は「いつ？」に対する返答を持ち合わせておらず、操作を文言どおりに裏付けるものとはいえない。
  
  実数は基本的にいつも誤差を伴って認識されるものである。この講演では誤差を伴った判断の下で実数の順序について論じ、その叩き台として新たな「切断論」を提唱する。

2006年12月7日（木）16:00-18:00
場所：立命館大学理工学部第3会議室

春名太一也氏（神戸大学）
「随伴函手による理論生物学に関する一考察」
1950年代後半に創始されたR. Rosen流の理論生物学では対象をその機能へと分解して機能を単位としてシステムを捉える．一方ごく最近2000年代になって，R. Patonは機能への分解の逆，つまり，機能を貼り合せて対象を構成する操作の重要性を指摘した．前者は有向グラフの圏Grphで考えると与えられた有向グラフのline-graphをとる操作に相当し，これはGrphからGrph への函手となっている．後者の操作もGrphからGrphへの函手として定式化できる．今回の発表では後者が前者の左随伴函手となることを示し，その理論生物学的意義について議論したい(この随伴に関してはPultr(1979)にほぼ同様の結果がある．"ほぼ"というのは考えている圏が少し異なるからである．しかしながら，ここでは左随伴函手の具体的構成に関して理論生物学的観点からより突っ込んだ考察を行う)．さらにline-graphをとる操作をGrphから二次元有向グラフの圏への函手とみたときもこれが左随伴を持つことについても述べたい．

講演資料

2006年11月8日（水）16:20-18:20
場所：奈良女子大学C棟4階数学大講義室C432

上江洌達也氏（奈良女子大学）
「レプリカ法の不思議」

ランダムな系の統計力学的解析に際して、レプリカ法という強力な方法がある。この方法は、数学的に厳密な定式化はまだなされていないが、いかなる数値シミュレーションによる結果とも矛盾しない結果を与える。簡単にいうと、まったく同一の系(レプリカ)をｎ個用意して、統計和を計算し，最後にｎ → ０の極限を取ることにより、目的とする物理量を得る方法である。問題となるのは、ｎを自然数として計算した結果の式で、ｎ→０の極限を取る操作である。
　談話会では、レプリカ法によって導かれる結果について主に述べる。また，レプリカ法が妥当となる数学的な条件の研究についても簡単に述べる。

2006年11月1日（水）16:20-18:20
場所：奈良女子大学 C棟4階数学大講義室C432

塩沢由典氏（大阪市立大学）
「多面体論の新領域／国際貿易理論」
リカードの国際貿易理論は、比較優位の理論として有名であるが、２国２財の場合を超えることは難しく、一般理論といえる成果はこれまでほとんど得られていない。本報告は、最小価格定理をうまく用いることにより、多数国・多数財で中間財の貿易と技術選択がある場合にも、リカードの理論が一般に拡張できること、賃金率・価格他体系と生産可能集合のファセットとの間に双対的な関係があることを示す。この結果は、数学的には、多次元空間における多面体を非負の方向から見た場合の分析にあたるが、これまでそのような応用の観点からは考察されていない。この理論は、数学としては古典的であるが、経済学の理論としては主流の経済学(貿易理論ではヘクシャー＆オリーンの理論)に対する代替的理論である。

資料：塩沢由典「リカード貿易理論の新構成--国際価値論によせてII」（未定稿 2006.11.11,PDF 636KB ）（『経済学雑誌』(大阪市立大学) 掲載予定）

2006年10月11日（水）16:00-18:00
場所：エポック立命21 会議室 310
　　　　　（立命館大学ＢＫＣ: アクセス, キャンパスマップ(PDF)）

藤尾光彦氏（九州工業大学）
「数理形態学からみた非古典論理」（講演資料(ppt 1MB)）

数理形態学(Mathematical Morphology)は元来、画像に対する非線形解析手法として開発されたものであるが、理論的には完備束の間の随伴演算対として基礎付けられる。本講演では、（必ずしも完備ではない）束としての論理の代数に数理形態学の手法を当てはめたときに何ができる／わかるのかについて紹介する。この結果、数理形態学（およびそのヴァリアントとしてのGalois接続）は様相・時相・直観主義・（直観主義およびただの）線形論理の非古典論理の意味論に明確な描像を与える。還元主義の立場からは、見易くなるだけならつまらないこととされるのであるが、この解析を通した洞察から、正規様相論理の時相拡大の問題についての実質的な結果も得られたので、これについても報告したい。

関連資料：□M.Fujio, Temporalization of Modal Logic--Morphological Analysis for Logic-- (PDF 149KB)
□M.Fujio and I.Bloch, Non-Clasical Logic via Mathematical Morphology (PDF 530KB)

2006年5月9日（火）16:30-18:30
場所：立命館大学理工学部会議室（ウェストウィング1階）

矢田部俊介氏（神戸大学工学部）
「包括原理と自然数」 (講演資料(PDF))

数学を古典論理の下で包括原理 (the comprehension principle) のある集合論によって基礎づけようとするフレーゲの試みは、ラッセルのパラドックスの発見によって挫折した。しかし古典論理より証明力が弱いいくつかの論理では、包括原理を仮定しても矛盾が起こらないことが知られている。このような包括原理を持つ集合論の上では古典的数学のかなりの部分が展開できるのではないか、そしてその集合論は古典数学と整合的である（つまり古典数学では証明できない定理がその集合論で証明されることはない）のではないかという希望がいだかれた。
　しかし今回の発表では、Lukasiewicz 無限値述語論理の上で包括原理を仮定した集合論では、自然数の集合ωが必ず超準的な元を含む、ということが証明できることを示す。つまり包括原理を持つ集合論の下で定義されたωが、古典論理の下で定義されたωと大きく違う性質を持つということであり、我々の希望に否定的な結論を与えるものである。

2005年12月20日（火）16:00-18:00
場所：立命館大学理工学部会議室（ウェストウィング1階）